我国古代人很早就知道了等差和等比数列。半坡出土的陶器上，就有排成等差数列的点阵花纹。战国时期楚国的铜环权，其重量大致都按等差或等比数列配置，如长沙近郊出土的10枚战国时期楚国“钧益”铜环权，其重量分别为1铢、2铢、3铢、6铢、12铢、1两、2两、4两、8两、1斤。《庄子·天下篇》中“一尺之棰，日取其半”的辩题和《周易·系辞传》中的生卦法也都是有关等比数列的例子。

中国古代数学著作中有着丰富的数列知识。本文对其中涉及等差和等比数列的部分问题进行探究。

等比数列与比例

我国古代数学文献中也很多的等比数列问题。《孙子算经》中载有如下著名问题：“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色。问各几何？这里，堤、木、枝、巢、禽、雏、毛、色的数目构成一个首项为9、公比为9的等比数列，与古代两河流域的人鸟问题、古埃及的猫鼠问题类似。

等差和等比数列的其他例子

《九章算术》中的数列问题对后世影响深远，后世的很多数列问题往往是对它们的改编。如《张丘建算经》将均输章的第18问改为“今有十等人，大官甲等十人官赐金，依等次差降之。上三人先入，得金四斤持出;下四人后入，得金三斤持出;中央三人未到者，亦依等次更给。问：各得金几何及未到三人复应得金几何？”朱世杰将同一问题改为：“今有竹七节，下二节容米三升，上三节容米二升。问中二节及逐节各容几何？”程大位则用诗歌形式来表达类似问题：“家有九节竹一茎，因为盛米不均平。下头三节三升九，上梢四节贮三升。唯有中间两节竹，要将米数次第盛。若是先生能算法，教君只算到天明。”

此外，汉译佛经中也有一些与等比数列相关的知识。如隋代阁那崛多法师（523-600）所译的《佛本行集经》卷12中，记载了悉达多太子讲授“微尘数”的算法：“凡七微尘，成一窗尘;合七窗尘，成一兔尘;合七兔尘，成一羊尘;合七羊尘，成一牛尘;合七牛尘，成于一虮;合于七虮，成于一虱;合于七虱，成一芥子;合七芥子，成一大麦;合七大麦，成一指节;累七指节，成于半尺。……”这里，微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列。唐代玄奘（602-664）所译的《俱舍论》佛经中，记载了类似的长度单位，为极微、微、金尘、水尘、兔毛尘、羊毛尘、牛毛尘、隙游尘、虮、虱和指节，其公比仍为7.

基于对中国古代数学文献中数列问题的考查，我们大致可以得出以下结论：中国古代数列问题与比例方法密不可分，涉及到由数列和求各项的问题，配分比例是最主要的工具;《九章算术》基本上确立了等差和等比数列问题的模式，对后世影响深远;古代数学家对等差数列的通项与求和公式运用娴熟，《九章算术》之后又有所发展;由于缺乏表达指数的有效方法，等比数列通项公式与求和公式付之阙如，有关的问题只能通过衰分术来求解，因而中国古代数学家在等比数列方面的取得成就远逊于在等差数列方面的取得成就;古代数学文献中的数列问题精彩纷呈，为我们今天的課堂教学提供了丰富的素材。